Iată un exercițiu de logică și statistică interesant: Cât de mare trebuie să fie un grup de persoane alese la întâmplare ca să avem o probabilitate de 50% ca măcar două ele să aibă aceeași zi de naștere? Răspunsul este 23, ceea ce îi surprinde pe mulți. Cum este posibil acest lucru?
Când meditează la această întrebare, cunoscută în statistică drept „problema zilei de naștere” sau „paradoxul zilei de naștere”, mulți oameni răspund, intuitiv, 182 sau 183, deoarece aceste numere reprezintă aproximativ jumătate din numărul de zile de naștere posibile, având în vedere că anul are 365 de zile.
Din păcate, intuiția și statistica nu fac întotdeauna casă bună.
„Îmi plac aceste probleme pentru că ilustrează modul în care oamenii nu se pricep în general la probabilități, ceea ce îi determină să ia decizii incorecte sau să tragă concluzii greșite. În plus, arată cât de benefică poate fi matematica pentru îmbunătățirea vieții noastre de zi cu zi. Așadar, rezultatele contraintuitive ale acestor probleme sunt amuzante, dar au și un scop”, a declarat pentru Live Science, Jim Frost, un statistician care a scris trei cărți despre statistică și este un editorialist obișnuit pentru American Society of Quality’s Statistics Digest.
Pentru a calcula răspunsul la problema zilei de naștere, Frost a început cu câteva ipoteze. În primul rând, nu a ținut cont de anii bisecți, ca să simplifice calculele matematice fără să influențeze rezultatele cu mult.
De asemenea, a presupus că toate zilele de naștere au șanse egale de a se întâmpla. Dacă începe cu două persoane, șansa ca prima persoană să nu împartă ziua de naștere cu a doua este de 364/365. Ca atare, probabilitatea ca acestea să aibă aceeași zi de naștere este 1 minus (364/365), sau o probabilitate de aproximativ 0.27%.
Dacă presupunem un grup de trei persoane, primele două persoane acoperă două date. Acest lucru înseamnă că șansa ca cea de-a treia persoană să nu aibă aceeași zi de naștere cu a celorlalte două este de 363/365.
Ca atare, probabilitatea ca toate aceste persoane să aibă aceeași zi de naștere este 1 minus produsul dintre (364/365) și (363/365), sau o probabilitate de aproximativ 0.82%.
Cu cât mai multe persoane sunt în grup, cu atât mai mari sunt șansele ca cel puțin două dintre ele să aibă aceeași de naștere. Cu 23 de persoane, există o șansă de 50.73%. La 57 de persoane, există o probabilitate de 99%.
„Am primit mesaje de la un profesor de statistică de la facultate, care pune în fiecare an pariu 20 de dolari cu studenții, gata să le demonstreze că cel puțin doi dintre colegii lor de an au aceeași zi de naștere. Studenții, neîncrezători, acceptă întotdeauna pariul și pierd! Din fericire, profesorul spune că le returnează banii, iar apoi îi învață cum să rezolve problema zilei de naștere”, spune Frost.
Există mai multe motive pentru care răspunsul la problema zilei de naștere pare contraintuitiv. Unul dintre ele este că mulți oameni calculează inconștient care sunt șansele ca altcineva dintr-un grup să aibă ziua lor de naștere, în condițiile în care întrebarea reală este dacă oricare doi oameni dintr-un grup au aceeași zi de naștere.
„În al doilea rând, cred că cei mai mulți încep cu un raționament de felul: Sunt 365 de zile într-un an, așa că probabil ai nevoie de aproximativ 182 de persoane pentru o probabilitate de 50%. Dar, cel mai important, subestimează cât de repede crește probabilitatea odată cu mărimea grupului. Numărul de împerecheri posibile crește exponențial odată cu mărimea grupului. Iar oamenii sunt groaznici când vine vorba de a înțelege creșterea exponențială”, a spus Frost.
Problema zilei de naștere este legată conceptual de o altă problemă de creștere exponențială, a remarcat Frost.
„La locul de muncă, să presupunem că vi se oferă să fiți plătit cu 1 cent în prima zi, 2 cenți în a doua zi, 4 cenți în a treia, 8 cenți, 16 cenți și așa mai departe, timp de 30 de zile. Este aceasta o afacere bună? Majoritatea oamenilor cred că este o afacere proastă, dar, datorită creșterii exponențiale, veți avea un total de 10.7 milioane de dolari în cea de-a 30-a zi”, a spus Frost.
